人教A版（2019）数学必修第一册《章末整合》一元二次函数、方程和不等式PPT
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《章末整合》一元二次函数、方程和不等式PPT
第一部分内容：深化提升
专题一 用基本不等式求最值
例1已知函数y=x+m/(x"-" 1)(m>0).
(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;
(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.
分析:(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x<1时,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等号成立的条件求参数m的值.
解:(1)当m=1时,y=x+1/(x"-" 1)=x-1+1/(x"-" 1)+1.
∵x>1,∴x-1>0.
∴y=x-1+1/(x"-" 1)+1≥2√("(" x"-" 1")•" 1/(x"-" 1))+1=3,
当且仅当x-1=1/(x"-" 1),即x=2时取等号,
所以当x>1时函数的最小值为3.
(2)∵x<1,∴x-1<0,∴y=x-1+m/(x"-" 1)+1=- 1-x+m/(1"-" x) +1≤-2√("(" 1"-" x")•" m/(1"-" x))+1=-2√m+1,
当且仅当1-x=m/(1"-" x),即x=1-√m时取等号,即函数的最大值为-2√m+1,
所以-2√m+1=-3,解得m=4.
方法技巧 应用基本不等式求最值的技巧
1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.
2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性.(将在下章中学习)
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